Ծնվել է Արմենը 1954ին, ավարտել է թատերական ինստիտուտը։ Ռեժիսուրան հիմնականում նախընտրած Արմենը ի սկզբանե դերասանական կրթություն է ստացել։ Հետագայում սվորել է նաև ռեժիսուրայի ֆակուլտետում։ 1981ին Սունդուկյանի անվան թատրոնում է աշխատել։
Հետագայում արդեն ռեժիսուրայով տարված Արմենը բեմադրություններ է արել։ 1988-1994ը Պարոնյանի թատրոնում է եղել։ 1988-2012ը ԵԹԿՊԻ-ում է աշխատել, հետագայում տեղափոխվել է մանկավարժական ինստիտուտ ու դարձել է ռեկտոր։ 1994ից Է․ Էլբակյան թատրոնն է հիմնադրել, որտեղ զբաղված են իր կինն ու նաև դուստրը, ով ևս բացի դերասանական գործունեությունից ևս բեմադրում է ներկայացումներ։
Ա․ Էլբակյանը նաև սերիալային բազում դերակատարումներ է ունեցել, որոնք սիրվել են ու ընդունվել են։ Շատերը հենց որպես դերասան են նրան ճանաչել։
Ա․ Էլբակյանի կինը՝ Աննան ևս դերասանուհի է, ով շնորհալի է իրեն դրսևորել շատուշատ նախագծերում։ Ա․ Էլբակյանն ունի ժողովրդականի կոչում, որը նա ստացել է իր բազմաչարչար ստեղծարար կյանքի շնորհիվ։
